Equações de 1° grau com uma e duas incógnitas

 

Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade. A palavra “equação” vem do latim equatione, equacionar, que quer dizer igualar, pesar, igualar em peso. E a origem primeira da palavra “equação” vem do árabe adala, que significa “ser igual a“, de novo a idéia de igualdade. Por serem desconhecidos, esses valores são representados por letras. Por isso na língua portuguesa existe uma expressão muito usada: “o x da questão”. Ela é utilizada quando temos um problema dentro de uma determinada situação. Matematicamente, dizemos que esse x é o valor que não se conhece.

Os gregos resolviam equações através de Geometria. Mas foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado progresso na resolução de equações. Para representar o valor desconhecido em uma situação matemática, ou seja, em uma equação, os árabes chamavam o valor desconhecido em uma situação matemática de “coisa”. Em árabe, a palavra “coisa” era pronunciada como xay. Daí surge o x como tradução simplificada de palavra “coisa” em árabe.

No trabalho dos árabes, destaca-se o de Al-Khowarizmi (século IX), que resolveu e discutiu equações de vários tipos.

Al-Khowarizmi é considerado o matemático árabe de maior expressão do século IX. Ele escreveu dois livros que desempenharam importante papel na história da Matemática. Num deles, Sobre a arte hindu de calcular, Al-Khowarizmi faz uma exposição completa dos numerais hindus. O outro, considerado o seu livro mais importante, Al-jabr wa’l mugãbalah, contém uma exposição clara e sistemática sobre resolução de equações.

As equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XVI. Por esse motivo é chamado “pai da Álgebra”. Viète também foi o primeiro a estudar as propriedades das equações através de expressões gerais como ax + b = 0. Graças a Viète os objetos de estudo da Matemática deixaram de ser somente problemas numéricos sobre preços das coisas, idade das pessoas ou medidas dos lados das figuras, e passaram a englobar também as próprias expressões algébricas.

A partir desse momento, as equações começaram a ser interpretadas como as entendemos atualmente: equação, o idioma da álgebra. Atualmente as equações são usadas, entre outras coisas, para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para fazer a previsão do tempo, etc. E devido a evolução dos estudos das equações, podemos utilizar outras variáveis, letras, para representar o valor desconhecido, ou seja, o que se quer descobrir em uma equação.Hoje, chamamos o termo desconhecido de incógnita, que é uma palavra originária do latim incognitu, que também quer dizer “coisa desconhecida”. A incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma equação.

Ao resolvermos uma equação do 1º grau obtemos um resultado (esse resultado é um valor numérico que, substituindo a incógnita por ele, chegamos a uma igualdade numérica), esse pode ser chamado de raiz da equação ou conjunto verdade ou conjunto solução da equação. Veja o exemplo:

2x - 10 = 4  é uma equação do 1º grau.
2x = 4 + 10
2x = 14
x = 14
  2     Logo  7 é o conjunto verdade da equação, solução ou raiz da equação 2x - 10 = 4.

Se substituirmos o x (incógnita) pela raiz, chegaremos a uma igualdade numérica, veja:
2 . 7 - 10 = 4
  14 – 10 = 4      veja que  4 = 4 é uma igualdade numérica, tiramos a prova real de que 7 é raiz da equação

 É através desse conjunto verdade que identificamos as equações equivalentes, pois quando o conjunto verdade de uma equação é igual ao conjunto verdade de outra equação dizemos que as duas são equações equivalentes. Assim, podemos definir equações equivalentes como:

 Duas ou mais equações somente são equivalentes se o seu conjunto verdade for igual

 Veja um exemplo de equação equivalente:

Dada as equações 5x = 10 e x + 4 = 6. Para verificar se elas são equivalentes deve-se primeiro achar o conjunto verdade de cada uma.
5x = 10                     x + 4 = 6
x = 10 : 5                  x = 6 - 4
x = 2                         x = 2

 Princípio aditivo da igualdade.

Vamos a mais um exemplo:

Conforme o princípio aditivo da igualdade, as duas equações são equivalentes. Se acharmos as raízes das duas equações, perceberemos que são iguais, então afirmaremos o que esse princípio diz que as duas são equivalentes. Veja o cálculo das suas raízes:
3x – 1 = 8                     3x + 4 = 13
3x = 8 + 1                     3x = 13 - 4
3x = 9                           3x = 9
x = 9 : 3                          x = 9 : 3
x = 3                               x = 3

 Princípio multiplicativo da igualdade

Esse princípio diz que ao multiplicarmos ou dividirmos os dois membros da igualdade pelo mesmo número, desde que esse seja diferente de zero, obteremos outra equação que será equivalente à equação dada. Veja o exemplo:
 

Dada a equação x – 1 = 2, uma das formas de achar uma equação equivalente a ela é utilizando o princípio multiplicativo da igualdade. Se multiplicarmos os dois membros dessa igualdade por 2, teremos:

4 . (x – 1) = 2 . 4
4x – 4 = 8 chegamos à outra equação que é equivalente à equação x – 1 = 2.

Já sabemos que suas equações são equivalentes se suas raízes são iguais. Então, vamos calcular as raízes do exemplo acima, para verificarmos se realmente são equivalentes.

x – 1 = 2            4x – 4 = 8
x = 2 + 1            4x = 8 + 4
x = 3                   4x = 12
                              x = 12 : 4 
                              x = 3
As raízes são iguais, portanto confirmamos o princípio multiplicativo da igualdade.

 Toda equação do 1º grau com uma incógnita é representada pela forma geral ax + b = c, com a, b e c pertencentes aos números reais, sendo a ≠ 0

Equações do 1º grau com duas incógnitas

 Existe também as equações do 1º grau com duas incógnitas são representadas pela expressão ax + by = c, asendo a ≠ 0, b ≠ 0 e c assumindo qualquer valor real. Nesse modelo de equação, os valores de x e y estão ligados através de uma relação de dependência. Observe exemplos de equações com duas incógnitas:

 3x + 7y = 5,

Essa relação de dependência pode ser denominada de par ordenado (x, y) da equação, os valores de x dependem dos valores de y e vice versa. Atribuindo valores a qualquer uma das incógnitas descobrimos os valores correlacionados a elas. Por exemplo, na equação
3x + 7y = 5, vamos substituir o valor de y por 2:

3x + 7*2 = 5
3x + 14 = 5
3x = 5 – 14
3x = – 9
x = – 9 / 3
x = – 3

Temos que para y = 2, x = – 3, estabelecendo o par ordenado (–3, 2).

A determinação do par ordenado é de grande importância para a construção da reta representativa da equação do 1º grau no plano cartesiano. Esses conceitos são muito utilizados na elaboração de gráficos de funções, como na Geometria Analítica que relaciona os estudos algébricos com a Geometria, sendo de extrema importância para o cotidiano matemático.

Valdivino Sousa é Professor, Matemático, Pedagogo, Contador, Bacharel em Direito e Escritor. Pesquisador sobre Engenharia Didática em Matemática; Modelagem; Construção do Conhecimento em Matemática; Modelos Matemáticos e suas Aplicações. Seu trabalho é reconhecido com Medalha de Mérito como docente pelo Instituto Matematics. É Professor nos cursos de Matemática, Ciências Contábeis, Administração e Engenharia. Dedica-se também a área contábil, com mais de 20 anos de experiência e desde 2005 é Contador responsável da Alves Contabilidade e Consultoria Tributária. Atuante nas seguintes áreas: Tributária, Contábil e das Entidades sem fins Lucrativos. Autor de mais de 10 (dez) livros e têm vários artigos publicados em revistas e jornais especializados nos assuntos de Legislação tributária e contábil. Semanalmente escreve para o portal D.Dez, Jornal da Cidade e Folha Online. Site: www.valdivinosousa.mat.br E-Mail: valdivinosousa.mat@gmail.com Cel Whatsap 11- 9.9608-3728